b10. Méthode de calcul des armatures tendues d'une section rectangulaire en flexion simple à l'ELS avec des armatures comprimées connues, As
Eurocode 2 - Calcul des sections de béton
Hypothèses
1. La section plane reste plane après déformation. Ainsi, la distribution des déformations est linéaire à travers la section.
2. Les armatures subissent les mêmes déformations que le béton adjacent.
3. La résistance du béton à la traction est négligée.
4. Un diagramme triangulaire de compression dans le béton est admis.
5. L'état limite de service par limitation des contraintes se produit lorsque la contrainte de traction dans les armatures atteint la limite σs,ser = k3 fyk (Pivot A) et/ou la contrainte de compression dans le béton atteint la limite σc,ser = k1 fck (Pivot B). Les paramètres k1 et k3 sont choisis par l'Annexe Nationale, voir § 7.2 (2) et § 7.2 (5) respectivement.
Notons le rapport de la profondeur de l'axe neutre/la hauteur effective de la section droite :
| αser = x/d | (b10.1) |
La distribution linéaire des déformations donne :
| αser = εc/(εc + εs) = ne σc/(ne σc + σs) | (b10.2) |
où :
- ne
-
est le cœfficient d'équivalence effectif des modules d'élasticité
ne = Es / Ec,effavec :
- Es
- la valeur de calcul du module d'élasticité des armatures voir § 3.2.7 (4)
- Ec,eff
- le module d'élasticité effectif du béton.
Section frontière AB
On considère une section frontière pour laquelle les pivots A et B sont atteints en même temps : σs = σs,ser et σc = σc,ser.
Dans ce cas, calculons :
| αAB = ne σc,ser/(ne σc,ser + σs,ser) | (b10.3) |
Si αser > αAB ⇔ le pivot B est atteint en premier. Sinon, le pivot A est atteint en premier.
Etat limite de service au pivot B
A l'équilibre, le moment de flexion de service doit être équilibré par le moment de résistance de la section :
| Mser = Fc z = 0,5 b σc,ser x (d - x/3) = 0,5 b d2 σc,ser αc,ser (1 - αc,ser/3) | (b10.4) |
Posons :
| μc,ser = Mser /(b d2 σc,ser) | (b10.5) |
(b10.4) ⇒ μc,ser = 0,5 αc,ser ( 1 - αc,ser/3)
| ⇔ αc,ser2 - 3 αc,ser + 6 μc,ser = 0 | (b10.6) |
Si μc,ser ≤ 0,375, cette équation quadratique a une solution :
| αc,ser = 1,5 [1 - (1 - 8 μc,ser/3)0.5] | (b10.7) |
Etat limite de service au pivot A
A l'équilibre, le moment de flexion de service doit être équilibré par le moment de résistance de la section :
| Mser = Fc z = 0,5 b σc x (d - x/3) = 0,5 b d2 σc αs,ser (1 - αs,ser/3) | (b10.8) |
La contrainte σc est déduite du diagramme des contraintes :
| σc = σs,ser αs,ser /[ne (1 - αs,ser)] | (b10.9) |
Posons :
| μs,ser = Mser /(b d2 σs,ser) | (b10.10) |
Mettons (b10.9) et (b10.10) dans (b10.8),
(b10.8) ⇒ μs,ser = 0,5 ne αs,ser2 ( 1 - αs,ser/3)
| ⇔ αs,ser3 - 3 αs,ser2 - 6 ne μs,ser αs,ser + 6 ne μs,ser = 0 | (b10.11) |
La résolution de cette équation du troisième degré donne une racine αs,ser ∈ (0, 1).
Deux sections fictives
On considère que la section est une superposition de deux sections fictives (voir la Figure b10-2):
- une section de béton avec une partie d'armatures tendues As1 ;
- une section avec deux armatures seules : As2 et Asc.
Calcul itératif de la contrainte σsc
Supposons la contrainte dans les armatures comprimées σsc = fyd = fyk/γs.
Le moment de flexion Ms supporté par la section sans armatures comprimées vaut :
| Ms = Mser - Asc σsc (d - d') | (b10.12) |
D'où :
| μc,ser = Ms /(b d2 σc,ser) |
| αc,ser = 1,5 [1 - (1 - 8 μc,ser/3)0.5] |
• αc,ser ≤ αAB ⇒ Pivot A
| μs,ser = Ms /(b d2 σs,ser) |
| (b10.11) ⇒ αs,ser |
Posons αser = αs,ser.
Le diagramme des contraintes ⇒ la contrainte de compression :
| σsc* = σs,ser (αser - d'/d)/(1 - αser) | (b10.13) |
• αu > αAB ⇒ Pivot B
Posons αser = αc,ser.
Le diagramme des contraintes ⇒ la contrainte de compression :
| σsc* = ne σc,ser (αser - d'/d)/αser | (b10.14) |
Cette valeur calculée de σsc* doit être comparée avec la valeur initiale σsc. Si la différence est supérieure à 5 %, on refait le calcul avec une valeur plus faible de σsc. Si la différence est inférieure ou égale à 5 %, on prend la valeur initiale σsc comme la contrainte dans les armatures comprimées.
Section d'armatures As
Pour la première section fictive sans armatures comprimées, la contrainte de traction dans les armatures tendues σs est égale à σs,ser dans le cas du Pivot A, est égale à ne σc,ser (1 - αser)/αser dans le cas du Pivot B.
La section d'armatures tendues As1 :
| As1 = Ms /[(1 - αser /3) d σs] | (b10.15) |
L'équilibre de la deuxième section fictive donne :
| As2 = Asc σsc /σs | (b10.16) |
Finalement, la section d'armatures tendues totale vaut :
| As = As1 + As2 | (b10.17) |
Organigramme
La Figure b10-3 résume cette méthode de calcul des armatures tendues d'une section rectangulaire de béton en flexion simple à l'état limite de service :
