b11. Méthode de calcul du moment résistant d'une section rectangulaire en flexion simple à l'ELS par limitation des contraintes, Mser
Eurocode 2 - Calcul des sections de béton
Hypothèses
1. La section plane reste plane après déformation. Ainsi, la distribution des déformations est linéaire à travers la section.
2. Les armatures subissent les mêmes déformations que le béton adjacent.
3. La résistance du béton à la traction est négligée.
4. Un diagramme triangulaire de compression dans le béton est admis.
5. L'état limite de service par limitation des contraintes se produit lorsque la contrainte de traction dans les armatures atteint la limite σs,ser = k3 fyk (Pivot A) et/ou la contrainte de compression dans le béton atteint la limite σc,ser = k1 fck (Pivot B). Les paramètres k1 et k3 sont choisis par l'Annexe Nationale, voir § 7.2 (2) et § 7.2 (5) respectivement.
Notons le rapport de la profondeur de l'axe neutre/la hauteur effective de la section droite :
| αser = x/d | (b11.1) |
La distribution linéaire des déformations donne :
| αser = εc/(εc + εs) = ne σc/(ne σc + σs) | (b11.2) |
où :
- ne
-
est le cœfficient d'équivalence effectif des modules d'élasticité
ne = Es / Ec,effavec :
- Es
- la valeur de calcul du module d'élasticité des armatures voir § 3.2.7 (4)
- Ec,eff
- le module d'élasticité effectif du béton.
Section frontière AB
On considère une section frontière pour laquelle les pivots A et B sont atteints en même temps : σs = σs,ser et σc = σc,ser.
Dans ce cas, calculons :
| αAB = ne σc,ser/(ne σc,ser + σs,ser) | (b11.3) |
Si αser > αAB ⇔ le pivot B est atteint en premier. Sinon, le pivot A est atteint en premier.
Ratio de hauteur comprimée αser
Le diagramme des contraintes ⇒ la contrainte de compression dans les armatures et celle dans le béton se calculent respectivement :
| σsc = σs (αser - d'/d) /(1 - αser) | (b11.4) |
| σc = (σs /ne)⋅αser /(1 - αser) | (b11.5) |
A l'équilibre, la somme des forces agissant sur la section donne :
| Fs = Fsc + Fc | |
| ⇔ As σs = Asc σsc + 0,5 b d αser σc | (b11.6) |
Mettons (b11.4) et (b11.5) dans (b11.6), (b11.6) devient une équation quadratique en αser :
| b d αser2 + 2 ne (As + Asc) αser - 2 ne (As + Asc d' /d) | (b11.7) |
On compare la racine αser ∈ (d'/d, 1) de cette équation avec la valeur frontière αAB.
• αser ≤ αAB ⇒ Pivot A
La contrainte de traction dans les armatures σs = σs,ser.
La contrainte de compression dans les armatures et celle dans le béton se calculent selon (b11.4) et (b11.5) respectivement.
• αser > αAB ⇒ Pivot B
La contrainte de compression dans le béton σc = σc,ser.
Le diagramme des contraintes ⇒ la contrainte de traction et la contrainte de compression dans les armatures se calculent respectivement :
| σs = ne σc,ser (1 - αser) /αser | (b11.8) |
| σsc = ne σc,ser (αser - d'/d) /αser | (b11.9) |
Moment résistant de service Mser
A l'équilibre, la somme des moments par rapport au centre de gravité des armatures tendues permet de calculer le moment résistant de service de la section :
| Mser = Asc σsc (d - d') + 0,5 b d2 αser (1 - αser /3) σc | (b11.10) |
