b2. Méthode de calcul des armatures tendues d'une section rectangulaire en flexion simple à l'ELU avec des armatures comprimées connues, As
Eurocode 2 - Calcul des sections de béton
Hypothèses
1. La section plane reste plane après déformation. Ainsi, la distribution des déformations est linéaire à travers la section.
2. Les armatures subissent les mêmes déformations que le béton adjacent.
3. La résistance du béton à la traction est négligée.
4. Un diagramme rectangulaire de compression dans le béton est admis, voir 3.1.7 (3).
5. L'état limite ultime se produit lorsque la déformation des armatures atteint la limite εud (Pivot A) et/ou la déformation du béton atteint la limite εcu3 (Pivot B).
Notons le rapport de la profondeur de l'axe neutre/la hauteur effective de la section droite :
| αu = x/d | (b2.1) |
La distribution linéaire des déformations donne :
| αu = εc/(εc + εs) | (b2.2) |
Section frontière AB
On considère une section frontière pour laquelle les pivots A et B sont atteints en même temps : εc = εcu3 et εs = εud.
Dans ce cas, calculons :
| αAB = εcu3/(εcu3 + εud) | (b2.3) |
Si αu > αAB ⇔ le pivot B est atteint en premier. Sinon, le pivot A est atteint en premier.
Deux sections fictives
On considère que la section est une superposition de deux sections fictives (voir la Figure b2-2):
- une section de béton avec une partie d'armatures tendues As1 ;
- une section avec deux armatures seules : As2 et Asc.
Calcul itératif de la contrainte σsc
Supposons la contrainte dans les armatures comprimées σsc = fyd.
Le moment de flexion Mu supporté par la section sans armatures comprimées vaut :
| Mu = MEd - Asc σsc (d - d') | (b2.4) |
A l'équilibre, le moment ultime de flexion de calcul doit être équilibré par le moment de résistance de la section :
| Mu = Fc z = b η fcd λ x (d - λ x/2) | (b2.5) |
| Mu = Fs z = As1 σs (1 - λ αu /2) d ⇔ As1 = Mu /[(1 - λ αu /2) d σs] | (b2.6) |
Posons :
| μu = Mu /(b d2 η fcd) | (b2.7) |
(b2.5) ⇒ 2 μu = 2 λ (x/d) - λ2 (x/d)2
|
⇔ 2 μu = 2 λ (αu) - λ2 (αu)2 |
(b2.8) |
Si μu ≤ 0,5, cette équation quadratique a une solution :
| αu = [1 - (1 - 2μu)0.5] /λ | (b2.9) |
• αu ≤ αAB ⇒ Pivot A
La déformation des armatures tendues εs1 = εud.
Le diagramme des déformations ⇒ la déformation des armatures comprimées εsc = εud⋅(αu - d/d')/(1 - αu).
• αu > αAB ⇒ Pivot B
La déformation maximale du béton εc = εcu3.
Le diagramme des déformations ⇒ la déformation des armatures comprimées εsc = εcu3⋅(αu - d/d')/αu.
Le diagramme contrainte-déformation pour l'acier de béton armé ⇒ la contrainte dans les armatures comprimées σsc*.
Cette valeur calculée de σsc* doit être comparée avec la valeur initiale σsc. Si la différence est supérieure à 5 %, on refait le calcul avec une valeur plus faible de σsc. Si la différence est inférieure ou égale à 5 %, on prend la valeur initiale σsc comme la contrainte dans les armatures comprimées.
Section d'armatures As1
Pour la première section fictive sans armatures comprimées, la déformation des armatures tendues εs1 est égale à εud dans le cas du Pivot A, est égale à εcu3⋅(1 - αu)/αu dans le cas du Pivot B.
Le digramme contrainte-déformation pour l'acier de béton armé ⇒ la contrainte des armatures tendues σs.
(b2.6) ⇒ la section d'armatures tendues As1 = Mu /[(1 - λ αu /2) d σs].
Section d'armatures As2
L'équilibre de la deuxième section fictive donne :
| As2 = Asc σsc /σs2 | (b2.10) |
Finalement, la section d'armatures tendues totale vaut :
| As = As1 + As2 | (b2.11) |
Organigramme
La Figure b2-3 résume cette méthode de calcul des armatures tendues d'une section rectangulaire soumise à la flexion simple avec la section d'armatures comprimées connue :
