b9. Méthode de calcul des armatures longitudinales d'une section rectangulaire en flexion simple à l'ELS, Asc et As
Eurocode 2 - Calcul des sections de béton
Hypothèses
1. La section plane reste plane après déformation. Ainsi, la distribution des déformations est linéaire à travers la section.
2. Les armatures subissent les mêmes déformations que le béton adjacent.
3. La résistance du béton à la traction est négligée.
4. Un diagramme triangulaire de compression dans le béton est admis.
5. L'état limite de service par limitation des contraintes se produit lorsque la contrainte de traction dans les armatures atteint la limite σs,ser = k3 fyk (Pivot A) et/ou la contrainte de compression dans le béton atteint la limite σc,ser = k1 fck (Pivot B). Les paramètres k1 et k3 sont choisis par l'Annexe Nationale, voir § 7.2 (2) et § 7.2 (5) respectivement.
Notons le rapport de la profondeur de l'axe neutre/la hauteur effective de la section droite :
| αser = x/d | (b9.1) |
La distribution linéaire des déformations donne :
| αser = εc/(εc + εs) = ne σc/(ne σc + σs) | (b9.2) |
où :
- ne
-
est le cœfficient d'équivalence effectif des modules d'élasticité
ne = Es / Ec,effavec :
- Es
- la valeur de calcul du module d'élasticité des armatures voir § 3.2.7 (4)
- Ec,eff
- le module d'élasticité effectif du béton.
Section frontière AB
On considère une section frontière pour laquelle les pivots A et B sont atteints en même temps : σs = σs,ser et σc = σc,ser.
Dans ce cas, calculons :
| αAB = ne σc,ser/(ne σc,ser + σs,ser) | (b9.3) |
Si αser > αAB ⇔ le pivot B est atteint en premier. Sinon, le pivot A est atteint en premier.
Etat limite de service au pivot B
A l'équilibre, le moment de flexion de service doit être équilibré par le moment de résistance de la section :
| Mser = Fc z = 0,5 b σc,ser x (d - x/3) = 0,5 b d2 σc,ser αc,ser (1 - αc,ser/3) | (b9.4) |
Posons :
| μc,ser = Mser /(b d2 σc,ser) | (b9.5) |
(b9.4) ⇒ μc,ser = 0,5 αc,ser ( 1 - αc,ser/3)
| ⇔ αc,ser2 - 3 αc,ser + 6 μc,ser = 0 | (b9.6) |
Si μc,ser ≤ 0,375, cette équation quadratique a une solution :
| αc,ser = 1,5 [1 - (1 - 8 μc,ser/3)0.5] | (b9.7) |
Etat limite de service au pivot A
A l'équilibre, le moment de flexion de service doit être équilibré par le moment de résistance de la section :
| Mser = Fc z = 0,5 b σc x (d - x/3) = 0,5 b d2 σc αs,ser (1 - αs,ser/3) | (b9.8) |
La contrainte σc est déduite du diagramme des contraintes :
| σc = σs,ser αs,ser /[ne (1 - αs,ser)] | (b9.9) |
Posons :
| μs,ser = Mser /(b d2 σs,ser) | (b9.10) |
Mettons (b9.9) et (b9.10) dans (b9.8),
(b9.8) ⇒ μs,ser = 0,5 ne αs,ser2 ( 1 - αs,ser/3)
| ⇔ αs,ser3 - 3 αs,ser2 - 6 ne μs,ser αs,ser + 6 ne μs,ser = 0 | (b9.11) |
La résolution de cette équation du troisième degré donne une racine αs,ser ∈ (0,1).
• αc,ser > αAB ⇒ Pivot B
Les armatures tendues As peuvent être déterminées suivant deux cas :
- en se basant uniquement sur le pivot B et on ne prévoit pas d'armatures comprimées ;
- en considérant la section frontière AB. Ainsi, la section d'armatures As est optimisée car la contrainte de traction σs est prise égale à la limite σs,ser. Cette optimisation demande un calul des armatures comprimées Asc.
Dans le premier cas, la contrainte de traction dans les armatures est déduite du diagramme des contraintes :
| σs = ne σc,ser (1 - αc,ser) /αc,ser | (b9.12) |
L'équilibre de la section permet de calculer des armatures tendues :
| As = Mser / [σs d (1 - αc,ser/3)] | (b9.13) |
Dans le deuxième cas, on considère que la section est une superposition de deux sections fictives (voir la Figure b9-2):
- une section de béton avec une partie d'armatures tendues As1. Cette section est au pivot B et au pivot A en même temps (section frontière).
- une section avec deux armatures seules : As2 et Asc.
Le moment frontier supporté par la première section vaut :
| MAB = 0,5 b d2 αAB σc,ser (1 - αAB/3) | (b9.14) |
La section d'armatures As1 de la première section :
| As1 = MAB /[σs,ser d (1 - αAB/3)] | (b9.15) |
La section d'armatures As2 de la deuxième section :
| As2 = (Mser - MAB) /[σs,ser (d - d')] | (b9.16) |
La contrainte de compression dans les armatures comprimées :
| σsc = σs,ser [αAB - d'/d) /(1 - αAB)] | (b9.17) |
La section d'armatures de compression As2 :
| Asc = As2 σs,ser /σsc | (b9.18) |
Finalement, les armatures tendues totales sont égales à :
| As = As1 + As2 | (b9.19) |
• αc,ser ≤ αAB ⇒ Pivot A
Les armatures comprimées ne sont pas nécessaires.
Les armatures tendues sont calculées en utilisant αs,ser de (b9.11) :
| As = Mser /[σs,ser d (1 - αs,ser/3)] | (b9.20) |
Organigramme
La Figure b9-3 résume cette méthode de calcul des armatures d'une section rectangulaire de béton soumise à la flexion simple à l'état limite de service :
